Расстояние между географическими точками калькулятор. Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения. Расстояние между точками в пространстве, формула

Решение задач по математике у учащихся часто сопровождается многими трудностями. Помочь учащемуся справиться с этими трудности, а так же научить применять имеющиеся у него теоретические знания при решении конкретных задач по всем разделам курса предмета «Математика» – основное назначение нашего сайта.

Приступая к решению задач по теме , учащиеся должны уметь строить точку на плоскости по ее координатам, а так же находить координаты заданной точки.

Вычисление расстояния между взятыми на плоскости двумя точками А(х А; у А) и В(х В; у В), выполняется по формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) , где d – длина отрезка, который соединяет эти точки на плоскости.

Если один из концов отрезка совпадает с началом координат, а другой имеет координаты М(х М; у М), то формула для вычисления d примет вид ОМ = √(х М 2 + у М 2).

1. Вычисление расстояния между двумя точками по данным координатам этих точек

Пример 1 .

Найти длину отрезка, который соединяет на координатной плоскости точки А(2; -5) и В(-4; 3) (рис. 1).

Решение.

В условии задачи дано: х А = 2; х В = -4; у А = -5 и у В = 3. Найти d.

Применив формулу d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2), получим:

d = АВ = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Вычисление координат точки, которая равноудалена от трех заданных точек

Пример 2.

Найти координаты точки О 1 , которая равноудалена от трех точек А(7; -1) и В(-2; 2) и С(-1; -5).

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что О 1 А = О 1 В = О 1 С. Пусть искомая точка О 1 имеет координаты (а; b). По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) найдем:

О 1 А = √((а – 7) 2 + (b + 1) 2);

О 1 В = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2);

О 1 С = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

Составим систему из двух уравнений:

{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 2) 2 + (b – 2) 2),
{√((а – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((а + 1) 2 + (b + 5) 2).

После возведения в квадрат левой и правой частей уравнений запишем:

{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 2) 2 + (b – 2) 2 ,
{(а – 7) 2 + (b + 1) 2 = (а + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Упростив, запишем

{-3а + b + 7 = 0,
{-2а – b + 3 = 0.

Решив систему, получим: а = 2; b = -1.

Точка О 1 (2; -1) равноудалена от трех заданных в условии точек, которые не лежат на одной прямой. Эта точка – есть центр окружности, проходящей через три заданные точки (рис. 2) .

3. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на заданном расстоянии от данной точки

Пример 3.

Расстояние от точки В(-5; 6) до точки А, лежащей на оси Ох равно 10. Найти точку А.

Решение.

Из формулировки условия задачи следует, что ордината точки А равна нулю и АВ = 10.

Обозначив абсциссу точки А через а, запишем А(а; 0).

АВ = √((а + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((а + 5) 2 + 36).

Получаем уравнение √((а + 5) 2 + 36) = 10. Упростив его, имеем

а 2 + 10а – 39 = 0.

Корни этого уравнения а 1 = -13; а 2 = 3.

Получаем две точки А 1 (-13; 0) и А 2 (3; 0).

Проверка:

А 1 В = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

А 2 В = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Обе полученные точки подходят по условию задачи (рис. 3).

4. Вычисление абсциссы (ординаты) точки, которая лежит на оси абсцисс (ординат) и находится на одинаковом расстоянии от двух заданных точек

Пример 4.

Найти на оси Оу точку, которая находится на одинаковом расстоянии от точек А(6; 12) и В(-8; 10).

Решение.

Пусть координаты нужной по условию задачи точки, лежащей на оси Оу, будут О 1 (0; b) (у точки, лежащей на оси Оу, абсцисса равна нулю). Из условия следует, что О 1 А = О 1 В.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

О 1 А = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

О 1 В = √((а + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Имеем уравнение √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) или 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 .

После упрощения получим: b – 4 = 0, b = 4.

Необходимая по условию задачи точка О 1 (0; 4) (рис. 4).

5. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом расстоянии от осей координат и некоторой заданной точки

Пример 5.

Найти точку М, расположенную на координатной плоскости на одинаковом расстоянии от осей координат и от точки А(-2; 1).

Решение.

Необходимая точка М, как и точка А(-2; 1), располагается во втором координатном углу, так как она равноудалена от точек А, Р 1 и Р 2 (рис. 5) . Расстояния точки М от осей координат одинаковые, следовательно, ее координатами будут (-a; a), где а > 0.

Из условия задачи следует, что МА = МР 1 = МР 2 , МР 1 = а; МР 2 = |-a|,

т.е. |-a| = а.

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) находим:

МА = √((-а + 2) 2 + (а – 1) 2).

Составим уравнение:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

После возведения в квадрат и упрощения имеем: а 2 – 6а + 5 = 0. Решим уравнение, найдем а 1 = 1; а 2 = 5.

Получаем две точки М 1 (-1; 1) и М 2 (-5; 5), удовлетворяющие условию задачи.

6. Вычисление координат точки, которая находится на одинаковом заданном расстоянии от оси абсцисс (ординат) и от данной точки

Пример 6.

Найти точку М такую, что расстояние ее от оси ординат и от точки А(8; 6) будет равно 5.

Решение.

Из условия задачи следует, что МА = 5 и абсцисса точки М равна 5. Пусть ордината точки М равна b, тогда М(5; b) (рис. 6).

По формуле d = √((х А – х В) 2 + (у А – у В) 2) имеем:

МА = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Составим уравнение:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Упростив его, получим: b 2 – 12b + 20 = 0. Корни этого уравнения b 1 = 2; b 2 = 10. Следовательно, есть две точки, удовлетворяющие условию задачи: М 1 (5; 2) и М 2 (5; 10).

Известно, что многие учащиеся при самостоятельном решении задач нуждаются в постоянных консультациях по приемам и методам их решения. Зачастую, найти путь к решению задачи без помощи преподавателя учащемуся не под силу. Необходимые консультации по решению задач учащийся и может получить на нашем сайте.

Остались вопросы? Не знаете, как найти расстояние между двумя точками на плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Исходные данные: координатная прямая O x и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число х A , оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой О А отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка O A по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату - 4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние О А равно 3 ; во втором случае О А = 4 .

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4 111 .

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то O A = x A (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то O A = - x A . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа x A .

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

• 0, если точка совпадает с началом координат;

• x A , если x A > 0 ;

• - x A , если x A < 0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой x A : O A = x A

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B , лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты x A и x B: A B = x B - x A .

Исходные данные: точки A и B , лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат O x y с заданными координатами: A (x A , y A) и B (x B , y B) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат O x и O y и получим в результате точки проекции: A x , A y , B x , B y . Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

Если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси O x (оси абсцисс), то точки и совпадают, а | А В | = | А y B y | . Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то A y B y = y B - y A , а, следовательно A B = A y B y = y B - y A .

Если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси O y (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: A B = A x B x = x B - x A

Если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник А В С является прямоугольным по построению. При этом A C = A x B x и B C = A y B y . Используя теорему Пифагора, составим равенство: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , а затем преобразуем его: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: A x B x , A y B y и A z B z

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Преобразуем выражение:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

Точки совпадают;

Лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Пример 1

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A (1 - 2) и B (11 + 2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B .

Решение

1. Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Ответ: O A = 2 - 1 , A B = 10 + 2 2

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A (1 , - 1) и B (λ + 1 , 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние А В будет равно 5 .

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B , необходимо использовать формулу A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Подставив реальные значения координат, получим: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

А также используем имеющееся условие, что А В = 5 и тогда будет верным равенство:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Ответ: А В = 5 , если λ = ± 3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат O x y z и лежащие в нем точки A (1 , 2 , 3) и B - 7 , - 2 , 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Подставив реальные значения, получим: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Ответ: | А В | = 9

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: A A A и B B B . Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка A B AB A B . Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b| A B = ∣ a − b ∣ ,

где a , b a, b a , b - координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a| ∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка A A A , координата которой равна 9 9 9 и точка B B B с координатой − 1 -1 − 1 . Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a = 9 , b = − 1

Пользуемся формулой и подставляем значения:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10 A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Ответ

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось O X OX O X и на ось O Y OY O Y . Затем рассматривается треугольник A B C ABC A B C . Так как он является прямоугольным ( B C BC B C перпендикулярно A C AC A C ), то найти отрезок A B AB A B , он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2 A B 2 = A C 2 + B C 2

Но, исходя из того, что длина A C AC A C равна x B − x A x_B-x_A x B ​ − x A ​ , а длина B C BC B C равна y B − y A y_B-y_A y B ​ − y A ​ , эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 ​ ,

где x A , y A x_A, y_A x A ​ , y A ​ и x B , y B x_B, y_B x B ​ , y B ​ - координаты точек A A A и B B B соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками C C C и F F F , если координаты первой (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , а второй - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Решение

X C = 8 x_C=8 x C ​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C ​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F ​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F ​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 C F = (x F ​ − x C ​ ) 2 + (y F ​ − y C ​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Ответ

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} A B = (x B ​ − x A ​ ) 2 + (y B ​ − y A ​ ) 2 + (z B ​ − z A ​ ) 2 ​

Пример 3

Найти длину отрезка F K FK F K в пространстве, если координаты точек его концов таковы: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) и (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Ответ округлить до целого числа.

Решение

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Лекция: Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы

Расстояние между двумя точками

Для нахождения расстояния между двумя точками на прямой в предыдущем вопросе мы использовали формулу d = х 2 – х 1.

Но, что касается плоскости, дела обстоят иначе. Не достаточно просто найти разность координат. Для нахождения расстояния между точками по их координатам следует воспользоваться следующей формулой:

Например, если у Вас имеются две точки с некоторыми координатами, то найти расстояние между ними можно следующим образом:

А (4;-1), В (-4;6):

АВ = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

То есть для вычисления расстояния между двумя точками на плоскости необходимо найти корень из суммы квадратов разностей координат.

Если необходимо найти расстояние между двумя точками на плоскости, следует воспользоваться аналогичной формулой с дополнительной координатой:

Уравнение сферы

Для задания сферы в пространстве следует знать координаты её центра, а также её радиус, чтобы воспользоваться следующей формулой:

Данное уравнение соответствует сфере, центр которой находится в начале координат.

Если же центр сферы сдвинут на некоторое количество единиц по осям, то следует воспользоваться следующей формулой.